2021年南京大学强基计划数学试题 · 参考解答

源材料仅收录两题，已对照原页恢复第 2 题漏转的平方根。

答案速览

题号	1	2
答案	$18180$	$1+\sqrt2$

逐题解析

第 1 题

题目

求 $M=\lfloor\sqrt[3]{1}\rfloor+\lfloor\sqrt[3]{2}\rfloor+\cdots+\lfloor\sqrt[3]{2021}\rfloor$。

解答

因 $12^3=1728\le2021<2197=13^3$，对每个整数 $j=1,\ldots,12$，能在和中贡献第 $j$ 个单位的项恰是 $k\ge j^3$ 的那些项，共 $2022-j^3$ 个。因此

$$M=\sum_{j=1}^{12}(2022-j^3) =12\cdot2022-\left(\frac{12\cdot13}{2}\right)^2=18180.$$

这里把每项 $\lfloor\sqrt[3]k\rfloor$ 分成若干个 $1$ 后按层计数，完整包含了最后一段 $1728\le k\le2021$。

第 2 题

题目

【恢复漏转根号】已知 $0\le a+b\le1$，$0\le b+c\le1$，$0\le c+a\le1$，求 $M=\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-a|}$ 的最大值，并给出取等情形。

解答

题面校注： 源题为三个绝对值的平方根之和，原 TeX 漏掉了根号；若按漏转题面计算，最大值将是 $2$，不是源答案 $1+\sqrt2$。

由对称性可设 $a\ge b\ge c$。令 $u=a-b,v=b-c$，则 $u,v\ge0$，且

$$u+v=a-c=(a+b)-(b+c)\le1.$$

由柯西不等式，$\sqrt u+\sqrt v\le\sqrt{2(u+v)}$，所以

$$M=\sqrt u+\sqrt v+\sqrt{u+v}\le(1+\sqrt2)\sqrt{u+v}\le1+\sqrt2.$$

取 $(a,b,c)=(3/4,1/4,-1/4)$，三组和分别为 $1,0,1/2$，且 $u=v=1/2$，全部条件成立并取等，故最大值为 $1+\sqrt2$。反过来，等号要求 $u=v$、$a-c=1$，从而 $a+b=1,b+c=0$；在当前排序下只能得到上述三元组。因此全部取等情形为它的六种排列。